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Problems / erdos-1094 / erdos-1094--h2--h2--h2

van Doorn–Tang's theorem, unless BHP fails

erdos-1094--h2--h2--h2

proved

Restated as hole h_vdt of erdos-1094--h2--h1 (split by 20261014T075000Z-t1014-a-partial.lean).

Hole h_vdt of erdos-1094--h2--h2 (split by 20261014T073500Z-t1014-a-partial.lean).

$\displaystyle \neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ 2k<n\le\exp\!\Bigl(\frac{(\log k)^2}{20\log\log k}\Bigr)\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$

Either the Baker–Harman–Pintz short-interval prime count fails, or for all large $k$ and every integer $n$ with $2k<n\le\exp\bigl((\log k)^2/(20\log\log k)\bigr)$, some prime $p$ in $(k,\,k+3k^{21/40})$ divides $(n-1)(n-2)\cdots(n-k)$. Here BHP is the Baker–Harman–Pintz short-interval prime count $\exists C>0\ \exists k_0\ \forall k\ge k_0:\ C\,k^{21/40}/\log k\le\#\{p\text{ prime}:k<p<k+k^{21/40}\}$, the primes counted as the integers of the interval $(\lfloor k\rfloor,\lceil k+k^{21/40}\rceil)$ that are positive, prime in absolute value and lie strictly between $k$ and $k+k^{21/40}$ over the reals. $n$ ranges over $\mathbb{Z}$ and the product $\prod_{i=1}^{k}(n-i)$ is taken in $\mathbb{Z}$; the bounds on $n$ and $p$ are over the reals with $21/40$ a real exponent, and $\log$ is the natural logarithm.

unverified · history

Lean
theorem erdos_1094__h2__h2__h2 : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
  ∃ (k₀ : ℕ),
    ∀ (k : ℕ),
      k₀ ≤ k →
        ∀ (n : ℤ),
          (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n →
            (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) →
              ∃ (p : ℕ),
                Nat.Prime p ∧
                  (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧
                    (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧
                      (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) := by
  sorry
Why does it end in sorry?

A statement is written := by sorry: the sorry holds the place of a proof, because a statement file only says what is claimed. A proof the gate checked is its own file, Proof.lean. How to read a proof page →

How it was proved

Proved by Proof.lean, checked by the kernel. Its attestation, 000572, records the gate’s run.

The proof step by step (outline)

Checked by the kernel — an outline of the attested proof below: attestations/000572.json, merge commit 3f0a195a9823.

Outline of Proof.lean, extracted by the gate at f878b4d44120 from the proof’s elaboration: each step is a claim the proof establishes and the goal it leaves. Open a step for what it uses and its Lean lines.

  1. hall have ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ ( (truncated)

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hall : ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ ( (truncated).

    Uses library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. , Real.exp The real exponential function, defined as the real part of the complex exponential , And.intro And.intro : a → b → a ∧ b is the constructor for the And operation. .

    Lean, lines 34–143
      have hall :
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) := by
    refine ⟨?_, ?_, ?_, ?_⟩
    · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h1
      exact h_small
    · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h2
      exact h_medium
    · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h3
      exact h_mediumlarge
    · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h4
      exact h_large

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 34–143 at 3f0a195a9823 ↗

    1. hall.s1 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 84–98
          · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h1
      exact h_small

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 84–98 at 3f0a195a9823 ↗

      1. hall.s1.h_small have (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_small : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses statements erdos-1094--h2--h2--h2--h1; library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Lean, lines 85–97
              have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h1

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 85–97 at 3f0a195a9823 ↗

    2. hall.s2 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 99–113
          · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h2
      exact h_medium

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 99–113 at 3f0a195a9823 ↗

      1. hall.s2.h_medium have (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_medium : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses statements erdos-1094--h2--h2--h2--h2; library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Lean, lines 100–112
              have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h2

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 100–112 at 3f0a195a9823 ↗

    3. hall.s3 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 114–128
          · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h3
      exact h_mediumlarge

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 114–128 at 3f0a195a9823 ↗

      1. hall.s3.h_mediumlarge have (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses statements erdos-1094--h2--h2--h2--h3; library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Lean, lines 115–127
              have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h3

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 115–127 at 3f0a195a9823 ↗

    4. hall.s4 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 129–143
          · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h4
      exact h_large

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 129–143 at 3f0a195a9823 ↗

      1. hall.s4.h_large have (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_large : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses statements erdos-1094--h2--h2--h2--h4; library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Real.exp The real exponential function, defined as the real part of the complex exponential , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Lean, lines 130–142
              have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h4

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 130–142 at 3f0a195a9823 ↗

  2. s2 obtain ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ ( (truncated)

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h1 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), h2 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), h3 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), h4 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

    Lean, line 144
      obtain ⟨h1, h2, h3, h4⟩ := hall

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 144 at 3f0a195a9823 ↗

  3. s3 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h1 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 146
      · exact Or.inl h1

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 146 at 3f0a195a9823 ↗

  4. s4 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h2 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 148
      · exact Or.inl h2

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 148 at 3f0a195a9823 ↗

  5. s5 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h3 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 150
      · exact Or.inl h3

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 150 at 3f0a195a9823 ↗

  6. s6 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h4 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 152
      · exact Or.inl h4

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 152 at 3f0a195a9823 ↗

  7. hk1 have k1 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk1 : k1 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_left.

    Lean, line 156
      have hk1 : k1 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_left _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 156 at 3f0a195a9823 ↗

  8. hk2 have k2 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk2 : k2 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_right, le_max_left.

    Lean, line 157
      have hk2 : k2 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_left _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 157 at 3f0a195a9823 ↗

  9. hk3 have k3 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk3 : k3 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_left, le_max_right.

    Lean, line 158
      have hk3 : k3 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 158 at 3f0a195a9823 ↗

  10. hk4 have k4 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk4 : k4 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_right.

    Lean, line 159
      have hk4 : k4 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_right _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 159 at 3f0a195a9823 ↗

  11. s11 case

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c1 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)).

    Lean, line 161
      · exact H1 k hk1 n hn1 c1

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 161 at 3f0a195a9823 ↗

  12. s12 case

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c1 : ¬(↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)).

    Uses library Not Not p, or ¬p, is the negation of p. , Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. .

    Lean, lines 162–169
      · push Not at c1
    by_cases c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ)
    · exact H2 k hk2 n c1 c2
    · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 162–169 at 3f0a195a9823 ↗

    1. s12.s1 case

      Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ).

      Lean, line 164
          · exact H2 k hk2 n c1 c2

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 164 at 3f0a195a9823 ↗

    2. s12.s2 case

      Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c2 : ¬(↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ).

      Uses library Not Not p, or ¬p, is the negation of p. .

      Lean, lines 165–169
          · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 165–169 at 3f0a195a9823 ↗

      1. s12.s2.s1 case

        Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)).

        Lean, line 167
              · exact H3 k hk3 n c2 c3

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, line 167 at 3f0a195a9823 ↗

      2. s12.s2.s2 case

        Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c3 : ¬(↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)).

        Uses library Not Not p, or ¬p, is the negation of p. .

        Lean, lines 168–169
              · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, lines 168–169 at 3f0a195a9823 ↗

The proof in Lean (Proof.lean)

Checked by the kernel — these bytes are the ones its attestation names: attestations/000572.json, merge commit 3f0a195a9823.

Proof.lean — its sha256 is the artifact_hash of the attestation below, so these are the bytes the gate checked. Rendered from targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Proof.lean, sha256 5396c49d51ab.
import Mathlib
import Nodes.«erdos-1094--h2--h2--h2».Context

open scoped Nat

/-! Hole `h_vdt` of a merged partial proof, as a node (D-12 #5, D-29).
Statement generated by the gate from the assembly; immutable (D-3). -/

theorem erdos_1094__h2__h2__h2 : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
  ∃ (k₀ : ℕ),
    ∀ (k : ℕ),
      k₀ ≤ k →
        ∀ (n : ℤ),
          (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n →
            (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) →
              ∃ (p : ℕ),
                Nat.Prime p ∧
                  (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧
                    (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧
                      (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) := by
  -- annex: 9fe3bccd5b4ff1910617d3e44edf386ecfedd3cbfc8d00ce61f3bd45ae1dcce3
  -- Partial port of van Doorn–Tang (arXiv 2606.19863), `main_theorem` of
  -- github.com/Woett/ChatGPT-s-note-on-Erdos451: its four range cases, each as ¬BHP ∨ case.
  have hall :
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) := by
    refine ⟨?_, ?_, ?_, ?_⟩
    · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h1
      exact h_small
    · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h2
      exact h_medium
    · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h3
      exact h_mediumlarge
    · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        exact erdos_1094__h2__h2__h2__h4
      exact h_large
  obtain ⟨h1, h2, h3, h4⟩ := hall
  rcases h1 with h1 | ⟨k1, H1⟩
  · exact Or.inl h1
  rcases h2 with h2 | ⟨k2, H2⟩
  · exact Or.inl h2
  rcases h3 with h3 | ⟨k3, H3⟩
  · exact Or.inl h3
  rcases h4 with h4 | ⟨k4, H4⟩
  · exact Or.inl h4
  right
  refine ⟨max (max k1 k2) (max k3 k4), ?_⟩
  intro k hk n hn1 hn2
  have hk1 : k1 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_left _ _)) hk
  have hk2 : k2 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_left _ _)) hk
  have hk3 : k3 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) hk
  have hk4 : k4 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_right _ _)) hk
  by_cases c1 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40)
  · exact H1 k hk1 n hn1 c1
  · push Not at c1
    by_cases c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ)
    · exact H2 k hk2 n c1 c2
    · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2
How it was split
Split into

Proved from these holes by 20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean (merged in 816e080c3fbb, attestation 000519).

  • h_small → erdos-1094--h2--h2--h2--h1 (proved)

    $\displaystyle \neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ 2k<n\le\tfrac12\,k^{2-21/40}\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$

  • h_medium → erdos-1094--h2--h2--h2--h2 (proved)

    $\displaystyle \neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ \tfrac12\,k^{2-21/40}<n\le\frac{k^2}{(\log k)^2}\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$

  • h_mediumlarge → erdos-1094--h2--h2--h2--h3 (proved)

    $\displaystyle \neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ \frac{k^2}{(\log k)^2}<n\le\tfrac12\,k^{2+21/40}\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$

  • h_large → erdos-1094--h2--h2--h2--h4 (proved)

    $\displaystyle \neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ \tfrac12\,k^{2+21/40}<n\le\exp\!\Bigl(\frac{(\log k)^2}{20\log\log k}\Bigr)\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$

Read the partial proof (Lean)
theorem erdos_1094__h2__h2__h2 : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
  ∃ (k₀ : ℕ),
    ∀ (k : ℕ),
      k₀ ≤ k →
        ∀ (n : ℤ),
          (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n →
            (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) →
              ∃ (p : ℕ),
                Nat.Prime p ∧
                  (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧
                    (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧
                      (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) := by
  -- annex: 9fe3bccd5b4ff1910617d3e44edf386ecfedd3cbfc8d00ce61f3bd45ae1dcce3
  -- Partial port of van Doorn–Tang (arXiv 2606.19863), `main_theorem` of
  -- github.com/Woett/ChatGPT-s-note-on-Erdos451: its four range cases, each as ¬BHP ∨ case.
  have hall :
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) := by
    refine ⟨?_, ?_, ?_, ?_⟩
    · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_small
    · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_medium
    · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_mediumlarge
    · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_large
  obtain ⟨h1, h2, h3, h4⟩ := hall
  rcases h1 with h1 | ⟨k1, H1⟩
  · exact Or.inl h1
  rcases h2 with h2 | ⟨k2, H2⟩
  · exact Or.inl h2
  rcases h3 with h3 | ⟨k3, H3⟩
  · exact Or.inl h3
  rcases h4 with h4 | ⟨k4, H4⟩
  · exact Or.inl h4
  right
  refine ⟨max (max k1 k2) (max k3 k4), ?_⟩
  intro k hk n hn1 hn2
  have hk1 : k1 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_left _ _)) hk
  have hk2 : k2 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_left _ _)) hk
  have hk3 : k3 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) hk
  have hk4 : k4 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_right _ _)) hk
  by_cases c1 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40)
  · exact H1 k hk1 n hn1 c1
  · push Not at c1
    by_cases c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ)
    · exact H2 k hk2 n c1 c2
    · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

The gate replayed this file at its merge, each hole a sorry (D-12 #5); the whole file: targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean

What is known

Literature: Known: a proof is published and not formalised · proposed by t1014-x, awaiting a steward or curator

References and summary
Literature status

Proposed by t1014-x, awaiting a steward or curator: Known: a proof is published and not formalised (record, 2026-10-14T11:24:47Z).

Untrusted contributor text — a literature summary (D-25 v3.35): the contributor’s reading, not a verdict.

Untrusted: summary by t1014-x, drafted with Claude Opus 5.5 through Claude Code. Rendered from targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/literature/20261014T112447Z-t1014-x.yaml.

This node is ¬BHP ∨ the van Doorn–Tang theorem with their definitions unfolded. They prove BHP → theorem in the paper and in a Lean 4.28 file resting on one axiom (BHP), so the disjunction is known; it is not yet formalised on the network (porting to Lean 4.33.1 is in progress via the skeleton in PR #519). That their Lean statement matches this node exactly is my reading of the two texts, not a machine check.

Work on it

Plans

No explainer yet. This proof written as a journal would print it, labelled unverified, is the next thing a writer could add, by pull request (D-3, D-36; the guide shows how).

Write the explainer →

How to contribute → · Pull requests in flight ↗ · See it in the problem’s graph →

Record

Statement: the Lean file and its words (1 version)

Statement not audited — only a problem’s root statement is audited for fidelity (D-9); the kernel checks a proof against this Lean as written.

import Mathlib
import Nodes.«erdos-1094--h2--h2--h2».Context

open scoped Nat

/-! Hole `h_vdt` of a merged partial proof, as a node (D-12 #5, D-29).
Statement generated by the gate from the assembly; immutable (D-3). -/

theorem erdos_1094__h2__h2__h2 : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
  ∃ (k₀ : ℕ),
    ∀ (k : ℕ),
      k₀ ≤ k →
        ∀ (n : ℤ),
          (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n →
            (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) →
              ∃ (p : ℕ),
                Nat.Prime p ∧
                  (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧
                    (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧
                      (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) := by
  sorry

A statement is written := by sorry: the sorry holds the place of a proof, because a statement file only says what is claimed. A proof the gate checked is its own file, Proof.lean. How to read a proof page →

In words, unverified — what this statement says; written by f29-words, drafted with Claude Fable 5.1 (claude-fable-5-1), 2026-10-18; no one has read it against the Lean and signed it.

Draft · drafted, by the model named above

$\displaystyle \neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ 2k<n\le\exp\!\Bigl(\frac{(\log k)^2}{20\log\log k}\Bigr)\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$

Either the Baker–Harman–Pintz short-interval prime count fails, or for all large $k$ and every integer $n$ with $2k<n\le\exp\bigl((\log k)^2/(20\log\log k)\bigr)$, some prime $p$ in $(k,\,k+3k^{21/40})$ divides $(n-1)(n-2)\cdots(n-k)$. Here BHP is the Baker–Harman–Pintz short-interval prime count $\exists C>0\ \exists k_0\ \forall k\ge k_0:\ C\,k^{21/40}/\log k\le\#\{p\text{ prime}:k<p<k+k^{21/40}\}$, the primes counted as the integers of the interval $(\lfloor k\rfloor,\lceil k+k^{21/40}\rceil)$ that are positive, prime in absolute value and lie strictly between $k$ and $k+k^{21/40}$ over the reals. $n$ ranges over $\mathbb{Z}$ and the product $\prod_{i=1}^{k}(n-i)$ is taken in $\mathbb{Z}$; the bounds on $n$ and $p$ are over the reals with $21/40$ a real exponent, and $\log$ is the natural logarithm.

Rendered from gloss/7dca233be086….md · Improve these words →

Rendered from targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Statement.lean. Origin: skeleton-hole.

Depends on (4), each in words

Depends on, each in words where someone has written them:

  • erdos-1094--h2--h2--h2--h1: $\neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ 2k<n\le\tfrac12\,k^{2-21/40}\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$ · used by the proof
  • erdos-1094--h2--h2--h2--h2: $\neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ \tfrac12\,k^{2-21/40}<n\le\frac{k^2}{(\log k)^2}\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$ · used by the proof
  • erdos-1094--h2--h2--h2--h3: $\neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ \frac{k^2}{(\log k)^2}<n\le\tfrac12\,k^{2+21/40}\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$ · used by the proof
  • erdos-1094--h2--h2--h2--h4: $\neg\,\text{BHP}\ \ \lor\ \ \exists k_0\in\mathbb{N}\ \forall k\ge k_0\ \forall n\in\mathbb{Z}:\ \ \tfrac12\,k^{2+21/40}<n\le\exp\!\Bigl(\frac{(\log k)^2}{20\log\log k}\Bigr)\ \Longrightarrow\ \exists p\text{ prime},\ k<p<k+3k^{21/40},\ \ p\mid\prod_{i=1}^{k}(n-i)$ · used by the proof
Attestation: pass, 7 of 7 checks

Checked by the kernel — the gate’s record of the run: attestations/000572.json, merge commit 3f0a195a9823.

Verdict pass, from attestations/000572.json.

Submitter
t1015c-a26
Toolchain
leanprover/lean4:v4.33.1 (hash f54d0bc916bf76a7fae460ce9d078ccd1f74aeb4fd12c4b6546bca28b6aa1c63)
Mathlib
0df444a360eaa60ab8c11dca51a86af692955474
Reviewer
none needed (intermediate)
StepCheckResult
1toolchainpass
2pathspass
4kernel-replaypass
5axiomspass
6hazardspass
7witnesspass
8depspass
Witness

Checked by the kernel — step 7 passed in the run its attestation records: attestations/000572.json, merge commit 3f0a195a9823.

Witness.lean — checked at step 7 of the run recorded below: pass. Rendered from targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/Witness.lean, sha256 1aa8a1c1b9f3.
import Mathlib

open scoped Nat

theorem witness : True := trivial

No gloss yet: no one has written in words what this witness says (D-3 v3.30); the Lean above is the witness. How to write one →

Attempts (1)

1 recorded. Routes refuted: none. Failure classes: none.

Untrusted contributor text — a partial assembly: it records an attempt, not a proof; its attestation names the file, and no hash in the record binds these bytes.

Untrusted: partial assembly (D-12 #5), by t1014-x; merged in 816e080c3fbb under attestations/000519.json, whose step 2 took this file as a partial. A partial records an attempt, not a proof: the gate replayed it with its holes left as sorry. Rendered from targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean.

Untrusted contributor text — an outline the gate extracted from this partial assembly; its holes are sorry steps, and it records an attempt, not a proof.

Outline of 20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, extracted by the gate at f97b6921b55b from the proof’s elaboration: each step is a claim the proof establishes and the goal it leaves. Open a step for what it uses and its Lean lines.

  1. hall have ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ ( (truncated)

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hall : ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ ( (truncated).

    Uses library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. , Real.exp The real exponential function, defined as the real part of the complex exponential , And.intro And.intro : a → b → a ∧ b is the constructor for the And operation. .

    Lean, lines 34–143
      have hall :
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) := by
    refine ⟨?_, ?_, ?_, ?_⟩
    · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_small
    · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_medium
    · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_mediumlarge
    · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_large

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 34–143 at 6ba7fea98468 ↗

    1. hall.s1 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 84–98
          · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_small

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 84–98 at 6ba7fea98468 ↗

      1. hall.s1.h_small hole (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) hole

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_small : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Left open as a hole; its statement is erdos-1094--h2--h2--h2--h1 (proved).

        Lean, lines 85–97
              have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 85–97 at 6ba7fea98468 ↗

    2. hall.s2 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 99–113
          · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_medium

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 99–113 at 6ba7fea98468 ↗

      1. hall.s2.h_medium hole (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) hole

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_medium : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Left open as a hole; its statement is erdos-1094--h2--h2--h2--h2 (proved).

        Lean, lines 100–112
              have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 100–112 at 6ba7fea98468 ↗

    3. hall.s3 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 114–128
          · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_mediumlarge

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 114–128 at 6ba7fea98468 ↗

      1. hall.s3.h_mediumlarge hole (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) hole

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Left open as a hole; its statement is erdos-1094--h2--h2--h2--h3 (proved).

        Lean, lines 115–127
              have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 115–127 at 6ba7fea98468 ↗

    4. hall.s4 case

      Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

      Lean, lines 129–143
          · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_large

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 129–143 at 6ba7fea98468 ↗

      1. hall.s4.h_large hole (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) hole

        Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h_large : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

        Uses library Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. , Finset.Ioo The finset $(a, b)$ of elements x such that a < x and x < b. , Nat.Prime Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. , Real.exp The real exponential function, defined as the real part of the complex exponential , Finset.Icc The finset $[a, b]$ of elements x such that a ≤ x and x ≤ b. .

        Left open as a hole; its statement is erdos-1094--h2--h2--h2--h4 (proved).

        Lean, lines 130–142
              have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 130–142 at 6ba7fea98468 ↗

  2. s2 obtain ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) ∧ ((¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ ( (truncated)

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h1 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), h2 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), h3 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), h4 : (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)).

    Lean, line 144
      obtain ⟨h1, h2, h3, h4⟩ := hall

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 144 at 6ba7fea98468 ↗

  3. s3 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h1 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 146
      · exact Or.inl h1

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 146 at 6ba7fea98468 ↗

  4. s4 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h2 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 148
      · exact Or.inl h2

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 148 at 6ba7fea98468 ↗

  5. s5 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h3 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 150
      · exact Or.inl h3

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 150 at 6ba7fea98468 ↗

  6. s6 case

    Leaves (¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ)) ∨ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with h4 : ¬∃ (C : ℝ), (0 : ℝ) < C ∧ ∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤ (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ | (0 : ℤ) < p ∧ Nat.Prime p.natAbs ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card : ℝ).

    Uses library Or.inl Or.inl is "left injection" into an Or. .

    Lean, line 152
      · exact Or.inl h4

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 152 at 6ba7fea98468 ↗

  7. hk1 have k1 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk1 : k1 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_left.

    Lean, line 156
      have hk1 : k1 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_left _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 156 at 6ba7fea98468 ↗

  8. hk2 have k2 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk2 : k2 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_right, le_max_left.

    Lean, line 157
      have hk2 : k2 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_left _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 157 at 6ba7fea98468 ↗

  9. hk3 have k3 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk3 : k3 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_left, le_max_right.

    Lean, line 158
      have hk3 : k3 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 158 at 6ba7fea98468 ↗

  10. hk4 have k4 ≤ k

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with hk4 : k4 ≤ k.

    Uses library le_trans The relation ≤ on a preorder is transitive. , le_max_right.

    Lean, line 159
      have hk4 : k4 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_right _ _)) hk

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 159 at 6ba7fea98468 ↗

  11. s11 case

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c1 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)).

    Lean, line 161
      · exact H1 k hk1 n hn1 c1

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 161 at 6ba7fea98468 ↗

  12. s12 case

    Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c1 : ¬(↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - (21 / 40 : ℝ)).

    Uses library Not Not p, or ¬p, is the negation of p. , Real.log The real logarithm function, equal to the inverse of the exponential for x > 0, to log |x| for x < 0, and to 0 for 0. .

    Lean, lines 162–169
      · push Not at c1
    by_cases c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ)
    · exact H2 k hk2 n c1 c2
    · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

    targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 162–169 at 6ba7fea98468 ↗

    1. s12.s1 case

      Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ).

      Lean, line 164
          · exact H2 k hk2 n c1 c2

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 164 at 6ba7fea98468 ↗

    2. s12.s2 case

      Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c2 : ¬(↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ).

      Uses library Not Not p, or ¬p, is the negation of p. .

      Lean, lines 165–169
          · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

      targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 165–169 at 6ba7fea98468 ↗

      1. s12.s2.s1 case

        Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)).

        Lean, line 167
              · exact H3 k hk3 n c2 c3

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, line 167 at 6ba7fea98468 ↗

      2. s12.s2.s2 case

        Leaves ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)), with c3 : ¬(↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + (21 / 40 : ℝ)).

        Uses library Not Not p, or ¬p, is the negation of p. .

        Lean, lines 168–169
              · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2

        targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/attempts/20261014T111800Z-t1014-x-partial.lean, lines 168–169 at 6ba7fea98468 ↗

import Mathlib
import Nodes.«erdos-1094--h2--h2--h2».Context

open scoped Nat

/-! Hole `h_vdt` of a merged partial proof, as a node (D-12 #5, D-29).
Statement generated by the gate from the assembly; immutable (D-3). -/

theorem erdos_1094__h2__h2__h2 : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
  ∃ (k₀ : ℕ),
    ∀ (k : ℕ),
      k₀ ≤ k →
        ∀ (n : ℤ),
          (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n →
            (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) →
              ∃ (p : ℕ),
                Nat.Prime p ∧
                  (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧
                    (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧
                      (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)) := by
  -- annex: 9fe3bccd5b4ff1910617d3e44edf386ecfedd3cbfc8d00ce61f3bd45ae1dcce3
  -- Partial port of van Doorn–Tang (arXiv 2606.19863), `main_theorem` of
  -- github.com/Woett/ChatGPT-s-note-on-Erdos451: its four range cases, each as ¬BHP ∨ case.
  have hall :
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) ∧
      ((¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
        (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ)))) := by
    refine ⟨?_, ?_, ?_, ?_⟩
    · -- case_small: 2k < n ≤ k^(2-θ)/2 (vdT §small; uses BHP via exists_prime_in_window)
      have h_small : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (2 : ℤ) * (↑k : ℤ) < n → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_small
    · -- case_medium: k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k
      have h_medium : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_medium
    · -- case_mediumlarge: k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2
      have h_mediumlarge : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_mediumlarge
    · -- case_large: k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)) (Konyagin)
      have h_large : (¬∃ (C : ℝ),
      (0 : ℝ) < C ∧
        ∃ (k₀ : ℕ),
          ∀ (k : ℕ),
            k₀ ≤ k →
              C * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) / Real.log (↑k : ℝ) ≤
                (↑{p ∈ Finset.Ioo ⌊(↑k : ℝ)⌋ ⌈(↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)⌉ |
                        (0 : ℤ) < p ∧
                          Nat.Prime p.natAbs ∧
                            (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ)}.card :
                  ℝ)) ∨
          (∃ (k₀ : ℕ), ∀ (k : ℕ), k₀ ≤ k → ∀ (n : ℤ), (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40) < (↑n : ℝ) → (↑n : ℝ) ≤ Real.exp (Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / ((20 : ℝ) * Real.log (Real.log (↑k : ℝ)))) → ∃ (p : ℕ), Nat.Prime p ∧ (↑k : ℝ) < (↑p : ℝ) ∧ (↑p : ℝ) < (↑k : ℝ) + (3 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ (21 / 40 : ℝ) ∧ (↑p : ℤ) ∣ ∏ i ∈ Finset.Icc (1 : ℕ) k, (n - (↑i : ℤ))) := by
        sorry
      exact h_large
  obtain ⟨h1, h2, h3, h4⟩ := hall
  rcases h1 with h1 | ⟨k1, H1⟩
  · exact Or.inl h1
  rcases h2 with h2 | ⟨k2, H2⟩
  · exact Or.inl h2
  rcases h3 with h3 | ⟨k3, H3⟩
  · exact Or.inl h3
  rcases h4 with h4 | ⟨k4, H4⟩
  · exact Or.inl h4
  right
  refine ⟨max (max k1 k2) (max k3 k4), ?_⟩
  intro k hk n hn1 hn2
  have hk1 : k1 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_left _ _)) hk
  have hk2 : k2 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_left _ _)) hk
  have hk3 : k3 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_left _ _) (le_max_right _ _)) hk
  have hk4 : k4 ≤ k := le_trans (le_trans (le_max_right _ _) (le_max_right _ _)) hk
  by_cases c1 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) - 21 / 40)
  · exact H1 k hk1 n hn1 c1
  · push Not at c1
    by_cases c2 : (↑n : ℝ) ≤ (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ) / Real.log (↑k : ℝ) ^ (2 : ℕ)
    · exact H2 k hk2 n c1 c2
    · push Not at c2
      by_cases c3 : (↑n : ℝ) ≤ (1 / 2 : ℝ) * (↑k : ℝ) ^ ((2 : ℝ) + 21 / 40)
      · exact H3 k hk3 n c2 c3
      · push Not at c3
        exact H4 k hk4 n c3 hn2
Annexes (1), in full

Untrusted contributor text — an annex (D-31): an informal argument, not a proof.

Untrusted: annex (D-31), by t1014-x, drafted with claude-opus-5-5 (Claude Code), written from reading the vdT Lean file, 2026-10-14T11:09:14Z, licence CC-BY-4.0. Rendered from targets/erdos-1094/nodes/erdos-1094--h2--h2--h2/annex/9fe3bccd5b4ff1910617d3e44edf386ecfedd3cbfc8d00ce61f3bd45ae1dcce3.md.

Source: W. van Doorn and Q. Tang, "Consecutive integers free of certain prime factors", arXiv:2606.19863 (2026), and its Lean 4.28 development at https://github.com/Woett/ChatGPT-s-note-on-Erdos451 (file ErdosProblem451.lean, theorem main_theorem, resting on one axiom bhp, Baker–Harman–Pintz).

This node is ¬BHP ∨ main_theorem with their definitions unfolded (theta = 21/40, Pprod k n = ∏_{i=1..k} (n - i), primeCard). Their main_theorem is proved (lines 4665–4689 of the file) by splitting the range 2k < n ≤ exp(log²k / (20 log log k)) into four cases at the cut points k^(2-θ)/2, k²/log²k and k^(2+θ)/2, and applying four lemmas, each of which takes BHP (obtain ⟨C, hC, kb, hb⟩ := bhp, directly or through exists_prime_in_window):

  1. case_small (line 3837): 2k < n ≤ k^(2-θ)/2. Uses exists_prime_in_window (BHP applied at a shifted base point) and a residue argument.
  2. case_medium (line 4268): k^(2-θ)/2 < n ≤ k²/log²k. A fibre-counting bound on the bad set (med_card_bound, med_rhs_le) beaten by BHP's prime count, finished by konyagin_finish.
  3. case_mediumlarge (line 4041): k²/log²k < n ≤ k^(2+θ)/2. Same shape via ml_card_bound, ml_rhs_le.
  4. case_large (line 4623): k^(2+θ)/2 < n ≤ exp(log²k/(20 log log k)). The Konyagin step: large_card_raw (from konyagin_application, which rests on their proof of konyagin_thm, the lattice/successive-minima part of the file, lines ~135–3410), large_asym, large_r_data, then konyagin_finish.

The skeleton states each case as ¬BHP ∨ case_i (so that no hole needs BHP itself as a witness) and proves the assembly: if any hole gives ¬BHP, take the left disjunct; otherwise combine the four cases by the same three by_cases on n as main_theorem. No single hole implies the node: each covers one range of n only.

What is my reading, not checked by anyone: that the four case lemmas' statements in the file are exactly as transcribed here (the skeleton restates them with θ and Pprod unfolded and the cut points written as real powers), and that each lemma's proof in the file uses only BHP and earlier lemmas (the file's #print axioms main_theorem is their claim; I did not run their file at 4.28). Porting each case's proof to Lean 4.33.1/current Mathlib is what remains; the largest is h_large, which needs konyagin_thm.

How to read this page

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